Matemáticas ll

martes, 3 de junio de 2014

PROBLEMAS

REGLA DE LA ADICIÓN

Ejemplo 1: Se lanzan un dado. Usted gana $ 3000 pesos si el resultado es par ó divisible por tres ¿Cuál es la probabilidad de ganar ?

Lo que primero hacemos es definir los sucesos :

Sea A = resultado par : A = { 2, 4, 6 }

Sea B = resultado divisible por 3 : B = { 3, 6 } . Ambos sucesos tienen intersección ?

Luego,

Ejemplo 2 : Se tiene una baraja de cartas ( 52 cartas sin jockers), ¿ Cuál es la probabilidad de sacar una Reina ó un As ?

Sea A = sacar una reina y sea B = sacar un as, entonces :

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

1. (Inspección de Lotes)

Un lote contiene

items de los cuales

son defectuosos. Los items son seleccionados uno despues del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos items son seleccionados sin reemplazamiento(Significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿ Cúal es la probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos?.

Solución

Sea los eventos

entonces dos items seleccionados seran defectuosos, cuando ocurre el evento $A_{1}\cap A_{2}$ que es la intersección entre los eventos $A_{1}$ y $A_{2}$ . De la información dada se tiene que:

así probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos es

Ahora suponga que selecciona un tercer item, entonces la probabilidad de que los tres items seleccionados sean defectuosos es

ean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A

B)= 1/4. Determinar:

2Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/3, p(B) = 1/4, p(A

B) = 1/5. Determinar:

3En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

4De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:

1Las dos sean copas

2Al menos una sea copas

3Una sea copa y la otra espada

PROBABILIDAD

La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.

Existen diversas formas como método abstracto, como la teoría Dempster-Shafer y la teoría de la relatividad numérica, esta última con un alto grado de aceptación si se toma en cuenta que disminuye considerablemente las posibilidades hasta un nivel mínimo ya que somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad

La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos de una fracción y no en porcentajes, por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por otra parte, la probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el valor de p y se denota con la letra q

P(Q) = 1 - P(E)

Los tres métodos para calcular las probabilidades son la regla de la adición, la regla de la multiplicación y la distribución binomial.

Regla de la adición

La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.

P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente. P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes.

Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos A y B.

Regla de la multiplicación

La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes. P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes

Regla de Laplace

La regla de Laplace establece que:

La probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible es 0.
La probabilidad de ocurrencia de un suceso seguro es 1, es decir, P(A) = 1.

Para aplicar la regla de Laplace es necesario que los experimentos den lugar a sucesos equiprobables, es decir, que todos tengan o posean la misma probabilidad.

La probabilidad de que ocurra un suceso se calcula así:

P(A) = Nº de casos favorables / Nº de resultados posibles

Esto significa que: la probabilidad del evento A es igual al cociente del número de casos favorables (los casos dónde sucede A) sobre el total de casos posibles.M,MM

Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

Un ejemplo clásico es el lanzamiento de una moneda para luego lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara (moneda) y luego un 6 (dado)? Pues eso se escribiría como P (Cara | 6).

El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes

Dado un espacio de probabilidad

(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)

y dos eventos (o sucesos)

A, B\in \mathcal F

con

P(B)>0

, la probabilidad condicional de A dado B está definida como:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.

PROBLEMAS (MEDIDAS DE DISPERSIÓN)

1) Calcular todas las medidas de dispersión para la siguiente distribución

2) Calcular las medidas de dispersion:

3) Una empresa de fabricación de productos cerámicos dispone de tres centros de producción. En el centro A, el más grande y moderno, se hace un estudio de los m² de azulejo producidos al mes durante el año pasado, obteniéndose una media de producción mensual m² , con una desviación típica SA = 15.000 m² . Se sabe que el centro B, por tener maquinaria más anticuada que A, produce cada mes un tercio de la producción de A, y que el centro C, por tener un horno menos que B, produce cada mes 25.000 m² menos que B ¿Cual es la media y la varianza de la producción mensual de C?

4) Sumando 5 a cada número del conjunto 3, 6, 2, 1, 7, 5, obtenemos 8, 11, 7, 6, 12, 10. Probar que ambos conjuntos de números tienen la misma desviación típica pero diferentes medias ¿como están relacionadas las medias?.

5) Multiplicando cada número 3, 6, 2, 1, 7 y 5 por 2 y sumando entonces 5, obtenemos el conjunto 11, 17, 9 7, 19 15. ¿Cual es la relación entre la desviación típica de ambos conjuntos? ¿Y entre las medias?

6) Tenemos una variable X de la que sabemos que: CV = 0,5 y que Sx = 3. ¿Cuál es el valor de la media de X?.

7) El coeficiente de variación de la variable X sabemos que es 1 ¿Qué podemos decir sobre su media y su varianza?

8) Tenemos dos variables X e Y con el mismo recorrido y media, siendo sus varianzas 4 y 9 respectivamente. ¿Para cual de las dos variables el valor de la media es más representativo?

9) Sea una variable con media 8 y desviación típica 0. ¿Qué se puede afirmar sobre el comportamiento de esta variable?.

MEDIDAS DE DISPERSION

Medidas de dispersión.

Las medidas de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del centro los valores de la distribución.
.El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.
Desviación típica

Rango o recorrido.

Desviación media

La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética.

Di = x - x

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:

Varianza.

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

1.- La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2.- Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.

3.- Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número.

4.- Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.

Propiedades de la varianza.

1.- La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.

2.- En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza.

3.- La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado.

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.

Propiedades de la desviación típica

1.- La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2.- Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.

3.- Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación típica queda multiplicada por dicho número.

4.- Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total.

Observaciones sobre la desviación típica

1.- La desviación típica, al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.

2.- En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la desviación típica.

3.- Cuanta más pequeña sea la desviación típica mayor será la concentración de datos alrededor de la media.

PROBLEMAS (MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL)

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

La medidas de centralización nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.

Media aritmética.

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.

$\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$

Propiedades

Las principales propiedades de la media aritmética son:

Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos.

Su valor es único para una serie de datos dada.

Se usa con frecuencia para comparar poblaciones, aunque es más apropiado acompañarla de una medida de dispersión.

Se interpreta como "punto de equilibrio" o "centro de masas" del conjunto de datos, ya que tiene la propiedad de equilibrar las desviaciones de los datos respecto de su propio valor:

\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})}{n} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} - \frac{\sum_{i=1}^n \overline{x}}{n} = \overline{x} - \overline{x} = 0

Minimiza las desviaciones cuadráticas de los datos respecto de cualquier valor prefijado, esto es, el valor de $\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-k)^2}{n}$ es mínimo cuando $k = \overline{x}$ . Este resultado se conoce como Teorema de König. Esta propiedad permite interpretar uno de los parámetros de dispersión más importantes: la varianza.

Se ve afectada por transformaciones afines (cambios de origen y escala), esto es, si

x_i' = ax_i+b

entonces

\overline{x'} = a \overline{x} + b

, donde

\overline{x'}

es la media aritmética de los

x_i'

, para i = 1, ..., n y a y bnúmeros reales.

Mediana.

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.

La mediana se representa por Me.

La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

Ordenamos los datos de menor a mayor.

Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.

Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.

Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre

Moda.

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

Se representa por Mo.

Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.

Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.

Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.

1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.