TEOREMA DE THALES DE MILETO

Existen dos teoremas de Thales de mileto:

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, al saber, que:

el primero nos habla acerca de la semejanza de triangulos y nos dice que:

"SI EN UN TRIANGULO SE TRAZA UNA LINEA PARALELA A CUALQUIERA DE SUS LADOS SE OBTIENE UN TRIANGULO SEMEJANTE AL TRIANGULO DADO."

Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Ejemplos

Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

 

2 Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?

 

Sí, porque se cumple el teorema de Thales.

Teorema de Thales en un triángulo

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

 

Ejemplo:

Hallar las medidas de los segmentos a y b.

 

Aplicaciones del teorema de Thales

El teorema de Thales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales.

Ejemplo:

Dividir el segmento AB en 3 partes iguales.

Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

 Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A

Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.

TEOREMA DE PITÁGORAS

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

"En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusaes igual a la suma de los cuadrados de los catetos."

Pitágoras de Samos

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes  y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:

(1)

De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

EJEMPLOS: Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared? La medida de los catetos de un triangulo rectángulo es de 5 y 7 centímetros respectivamente. calcula la medida de su hipotenusa

c= 10m a=  6m b= x c= x a= 5 cm b= 7 cm

Tendriamos que b es igual a la raiz cuadrada de 10 elevado al cuadrado menos el cuadrado de seis... Despues de efectuar las ecuaciones el resultado es: 8 Tendriamos que c es igual a la raiz cuadrada de 5 elevado al cuadrado mas el cuadrado de 7 El resultado seria: 8.6

TEOREMAS DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.

La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.

La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.

Criterios de semejanza

1 Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

2 Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

3 Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.

Semejanza de triángulos rectángulos

1 Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.

2 Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.

3 Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto.

ÁNGULOS CONGRUENTES

*Los ángulos opuestos por el vértice con congruentes

*Los ángulos correspondientes en rectas paralelas son congruentes

El angulo 1 es congruente con el angulo 5

El angulo 4 es congruente con el angulo 8

El angulo 2 es congruente con el angulo 6

El angulo 3 es congruente con el angulo 7

*Los ángulos alternos internos  y alternos externos en rectas paralelas son congruentes

El angulo 1 es congruente con el angulo 7

El angulo 2 es congruente con el angulo 8

El angulo 4 es congruente con el angulo 6

El angulo 3 es congruente con el angulo 5

CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos presentan ángulos y lados de igual medida o congruentes.

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.

Si el triángulo ABC es congruente al triángulo DEF, la relación puede ser escrita matemáticamente así:

En muchos casos es suficiente establecer la igualdad entre tres partes correspondientes y usar uno de los siguientes criterios para deducir la congruencia de dos triángulos.

Criterios de congruencia de triángulos

Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan criterios de congruencia, los cuales son:

• Criterio LAL: Dos triángulos son congruentes si dos de sus lados tienen la misma longitud de sus homólogos, y el ángulo comprendido entre ellos tiene la misma medida de su homólogo.

• Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

• Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro, entonces los triángulos son congruentes.

• Criterio LLA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos.

TEOREMAS DE ÁNGULOS EN UN TRIANGULO

* La suma de los ángulos interiores de un triangulo es igual a 180°

* La medida de un angulo exterior es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes a el

* La suma de los ángulos exteriores es igual a 360°

* Cada angulo interior esta formado por dos lados.

* Un angulo exterior y su angulo adyacente interior son suplementarios ya que suman 180°

MEDICIÓN DE ÁNGULOS Y SISTEMA SEXAGESIMAL

Medir un angulo es compararlo con otro que se toma como unidad.

La unidad que se toma con mas frecuencia es el grado, que es la unidad de medida angular del sistema sexagesimal.

 Los ángulos comúnmente se miden en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

SISTEMA SEXAGESIMAL

Se le llama grado sexagesimal a la medida del angulo que resulta de dividir a la circunferencia en 360 partes iguales. La medida de un angulo no depende de la longitud de sus lados, sino de la abertura entre estos existen dos métodos para poder expresar los ángulos con mayor precisión: el sistema decimal que consiste en simplemente dar decimales de grado (145.5°,67.25°...) y el sistema sexagesimal que consiste en dividir el grado en 60 partes denominadas minutos ( ' )  y el minuto en 60 partes iguales denominadas segundos ( '' ).

* Suma y resta de ángulos:

Para sumar o restar ángulos, podemos hacerlo de manera geométrica, es decir juntando los dos ángulos y midiéndolos posteriormente o bien de manera algebraica que es cuando sumamos los segundos con los segundos (si estos exceden los 60'' se suman a la columna de los minutos, donde también si exceden los 60' se suman a los grados.

Ejemplos:

    12° 24' 16''

+  34° 26' 25''

--------------------

46° 50' 41''

   132° 34' 17''

-   44° 26' 25'' 

---------------------

88° 7' 52'' 

SISTEMA CIRCULAR O CÍCLICO

Utiliza al radian como unidad principal y representa el angulo central de una circunferencia que subtiene un carco cuya longitud es igual a la del radio (su simbolo es rad. y 1 rad equivale a 180°/π).

LA RECTA DE EULER

La recta de Euler tiene una particularidad, y es que contiene al ortocentro, al circuncentro y al baricentro, al punto de Exeter y al centro de los nueve puntos notables de un triángulo no equilátero. Se llama así en honor al matemático suizo Leonhard Euler, quien lo demostró en el siglo XVIII en el año 1765.

Euler demostro que en cualquier triangulo estos puntos son colineales.

Esta propiedad es también cierta para el centro de los nueve puntos notables; que Euler no había demostrado para ese tiempo. En los triángulos equiláteros, estos cuatro puntos coinciden, pero en cualquier otro triángulo no lo hacen, y la recta de Euler está determinado por dos cualesquiera de ellos. El centro del círculo de los nueve notables puntos se encuentra a mitad de camino a lo largo de la línea de Euler entre el ortocentro y el circuncentro , y la distancia desde el centroide de la circuncentro es un medio que desde el centroide hasta el ortocentro.

Otros puntos destacados que se encuentran en la recta de Euler son el punto de Longchamps , el punto Schiffler , el punto de Exeter y el punto far-out. Sin embargo, el incentro se encuentra en la recta de Euler sólo para triángulos isósceles.

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

Los triángulos se pueden clasificar de dora formas: de acuerdo a sus lados o de acuerdo a sus ángulos

DE ACUERDO A SUS LADOS.

EQUILATERO

Tiene sus tres lados iguales al igual que sus ángulos todos estos miden 60º por lo que se puede decir que también es un equiángulo

En un triangulo equilátero coincide el ortocentro, baricentro e incentro.

ISÓSCELES

Este tipo de triangulo tiene dos lados de igual longitud y uno desigual, así como también tiene dos ángulos iguales y uno desigual (del griego ἴσος "igual" y σκέλη "piernas", es decir, "con dos piernas iguales"), tiene un solo eje de simetría.

ESCALENO

(del griego σκαληνός "desigual") No hay lados iguales en este tipo de triangulo lo que quiere decir que todos sus lados tienen distintas longitudes, por lo tanto tampoco hay ángulos iguales

DE ACUERDO A SUS ÁNGULOS

ACUTÁNGULO

Un triangulo acutángulo es aquel en el que sus tres ángulos son agudos (lo que quiere decir que son menores a 90º)

RECTÁNGULO

Es aquel que tiene un ángulo interno recto (de 90º) los lados que forman este ángulo se denominan catetos mientras que el opuesto a este se llama hipotenusa.

OBTUSÁNGULO

Es aquel  que tiene un ángulo obtuso ósea que excede la medida de 90º y los otros dos son agudos, dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que éstos dos.

LOS TRIÁNGULOS Y SUS PUNTOS NOTABLES (medianas,alturas,mediatrices y bisectriz)

EL TRIANGULO
Es la proporción del plano comprendida entre dos rectas que se interceptan, todos los triángulos cuentan con estas 3 propiedades:
1.- Uno de los lados del triangulo siempre es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia,
2.- La suma de los ángulos interiores es igual a 180°
3.- Un angulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a el

PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO.

Todo triángulo cuenta con tres ángulos y tres lados.

La altura de un triangulo es el segmento perpendicular trazado desde uno de los vértices al punto opuesto, un triángulo cuenta con tres alturas y a la unión de estas se les denomina ortocentro.

La mediana es el segmento trazado de uno de los vértices al punto medio del lado opuesto, un triangulo tiene tres medianas que se cortan

en el baricentro.

Se llama mediatriz al segmento PERPENDICULAR al lado de un triángulo por su punto medio.

todo triangulo cuenta con tres mediatrices que se cortan en un punto medio llamado circuncentro.

Se trata de una semirrecta que partiendo del vértice divide al ángulo en dos partes iguales.

Podemos decir también que cada punto de la bisectriz, equidista (está a igual distancia) de los lados del ángulo. Un triangulo tiene 3 bisectrices y el punto donde estas se unen se llama incentro.